笔下文学

第233章 走近高维（第3页）

流体力学中的流动问题：在流体力学中，流体速度分布在管道或渠道中可能遵循二次函数形式，尤其是在层流状态下。

这些例子展示了二次函数在物理学中的广泛应用，它们是描述自然界中多种现象的基本数学工具之一。

接下来我们讨论升维的方法:这个世界很奇妙，要么无限大→宏观，要么无限小→微观，去寻求答案:

先看一下泰勒级数吧！

泰勒级数（Taylorseries）是一种用于近似表示函数的方法，它可以将一个在某个点附近足够平滑的函数表示为一个无限项的多项式。泰勒级数是以数学家布鲁克·泰勒（BrookTaylor）的名字命名的，他在1715年发表了这个方法。

对于一个实数或复数函数f（x），如果在点a处具有直到n阶的连续导数，那么它的泰勒级数展开式为：

f（x）=f（a）+f（a）（x-a）+（f（a）2!）（x-a）^2+（f（a）3!）（x-a）^3+。。。+（f^n（a）n!）（x-a）^n+。。。

其中，f（a），f（a），f（a），。。。分别表示函数f在点a处的一阶、二阶、三阶、。。。、n阶导数，而n!表示n的阶乘。

这章没有结束，请点击下一页继续阅读！

如果a=0，则这个级数被称为麦克劳林级数（Maclaurinseries），它是泰勒级数的一个特例。麦克劳林级数的展开式为：

f（x）=f（0）+f（0）x+（f（0）2!）x^2+（f（0）3!）x^3+。。。+（f^n（0）n!）x^n+。。。

泰勒级数在数学分析中非常有用，因为它允许我们将复杂的函数用简单的多项式来近似。在很多情况下，即使只取泰勒级数的前几项作为近似，也能得到相当好的结果。然而，需要注意的是，并非所有函数都能在任意点上进行泰勒级数展开，只有那些在展开点附近足够平滑的函数才能这样做。此外，即使函数可以展开成泰勒级数，也不一定意味着级数在整个定义域内都收敛于原函数。

再看看火麒麟老祖对高维空间的理解:

理解一:表达式x^0+x^1+x^2+x^3+x^4+x^5+。。。+x^n是一个等比数列的求和，其中首项是x^0，公比是x，最后一项是x^n。

等比数列的求和公式是：

S=a*（1-r^（n+1））（1-r）

其中，S是求和的结果，a是首项，r是公比，n是项数减一（因为从0开始计数，所以第n项实际上是第n+1个数）。

在这个问题中，首项a=x^0=1，公比r=x，项数n+1。

所以，求和公式变为：

S=1*（1-x^（n+1））（1-x）

简化后得到：

S=（1-x^（n+1））（1-x）

这就是从x^0到x^n的所有项之和的封闭形式解。注意，这个公式适用于x不等于1的情况。如果x=1，那么所有的项都是1，求和就变成了简单地把1加到n+1次，即（n+1）*1=n+1。

理解二:表达式x^0-x^1+x^2-x^3+x^4-x^5+。。。-x^n是一个交错等比数列的求和，其中首项是x^0，公比是-x，最后一项是-x^n（注意符号的变化）。

交错等比数列的求和可以通过调整项的顺序，然后使用等比数列的求和公式来解决。我们可以把所有的正项放在一起，所有的负项放在一起，然后分别求和。

正项的求和是：

S_positive=x^0+x^2+x^4+。。。+x^（2m）（直到偶数项x^（2m）＜=x^n）

这是一个等比数列，首项a=x^0=1，公比r=x^2，项数m+1（因为从0开始计数，所以第m项实际上是第m+1个数）。

使用等比数列的求和公式：

S_positive=1*（1-（x^2）^（m+1））（1-x^2）=（1-x^（2m+2））（1-x^2）

负项的求和是：

S_negative=-x^1-x^3-x^5-。。。-x^（2m+1）（直到奇数项x^（2m+1）＜=x^n）

这也是一个等比数列，首项a=-x^1，公比r=-x^2，项数m+1。

使用等比数列的求和公式：

S_negative=-x*（1-（-x^2）^（m+1））（1-（-x^2））=-x*（1-（-1）^（m+1）*x^（2m+2））（1+x^2）

总和S是正项和与负项和的代数和：

S=S_positive+S_negative=（1-x^（2m+2））（1-x^2）-x*（1-（-1）^（m+1）*x^（2m+2））（1+x^2）

这个公式适用于x不等于1和-1的情况。如果x=1或x=-1，那么数列的性质会发生变化，需要单独处理。